מספרים על טבעיים: האם ידעתם על קיומם?

במתמטיקה, מוכר המושג "מספר אי רציונאלי". מהו מספר אי רציונאלי? להלן הגדרה מספקת לענייננו כעת:

"מספר אי רציונלי הוא מספר ממשי שאינו מספר רציונלי, כלומר שלא ניתן להציגו כמנה של שני מספרים שלמים. .. בהצגה של מספר אי-רציונלי כשבר עשרוני יש מימין לנקודה מספר אינסופי של ספרות, ללא מחזוריות כלשהי, ולכן ביכולתנו לרשום רק מספר סופי של הספרות הראשונות שמימין לנקודה (ברמת הדיוק הרצויה לנו), ואת ההמשך לסמן בשלוש נקודות (למשל:
π = 3.14159…"
(ויקיפדיה, "מספר אי רציונאלי", 5.22)
(ההדגשה בקו תחתי אינה במקור)

כלומר, מדובר במספר שבני האדם לא יכולים לקבוע את ערכו בדיוק מוחלט. האם ידעתם כי קיימים מספרים כאלה?

לדוגמא: ניתן לקנות ולמכור בדיוק 1 תפוחים, 2 תפוחים, 1.5 תפוחים, 2.25 תפוחים וכדומה. כל המספרים הללו הינם רציונליים. אך לא ניתן קבוע במדויק את ערכו של "שורש 2" תפוחים. אין מפעל בעולם, ממוחשב ככל שיהיה, שיוכל להכין עבורנו חבילה ובה כמות של "שורש 2" תפוחים, כי המספר איננו ידוע לאנושות במדויק – ולעולם לא יהיה ידוע. זו עובדה מתמטית. 

אך זוהי רק ההתחלה. מתברר למעשה שרוב המספרים על ציר המספרים הינם מספרים אי רציונליים:

במילים אחרות, כמעט כל המספרים בעולם הנם מספרים שערכם המדויק איננו מוגדר היטב על ידי האנושות. מדהים, לא?

אגב – שימו לב לשימוש באות א' המקראית לתיאור "עוצמה" של קבוצות במתמטיקה המודרנית. נקודה למחשבה. על פי מסורת ישראל, האות "א" מייצגת את "אלופו של עולם" – הקדוש ברוך הוא (ראו בספר "הצופן" מאת הרב זמיר כהן, האות א').

אך גם כאן עדיין לא מסתיים העניין. מסתבר שגם מספרים פשוטים ביותר, המשמשים את כולנו בחיי היום יום – הינם מספרים אי רציונליים. מספרים אלו מצויים עמוק בתכנון וביישום של כמעט כל מערכת טכנולוגית מודרנית, בעולמות התעופה, ספנות, חלל, טילים, מערכות צבאיות, פיסיקה, כימיה, מדעי המחשב ועוד ועוד. האנושות בכלל, והמדע המודרני בפרט, מתבססים על מספרים שערכם המדויק למעשה אינו ידוע (!). לפניכם כמה דוגמאות למספרים כאלה. תרשימים והמחשות לכל דוגמא תוכלו למצוא ב-pdf המצורף למאמר זה:

1. אורך היתר במשולש ישר זווית ושווה שוקיים

2. היחס בין היקף המעגל לקוטרו

3. המתמטיקה של התפרקות רדיואקטיבית – המשמשת ככלי בסיסי בתיארוך המדעי של ממצאים מהעבר הרחוק.

כלומר, לסיכום – מתברר שגם מרכיבי הטבע והמדע שחשבנו שנשלטים ומובנים לאנושות היטב, למעשה טומנים בחובם מידע רב שאינו ידוע לנו ואינו בשליטתנו. וכדברי הפסוק:

"לָכֵן הִגַּדְתִּי וְלֹא אָבִין

נִפְלָאוֹת מִמֶּנִּי וְלֹא אֵדָע"

(איוב מ"ב, ג')

הטקסט לקוח מתוך הספר "עולמות משתלבים". להורדה וקריאת הפרק בקובץ PDF, היכנסו לכאן >>

הכותב בעל תואר B.Sc בפיסיקה בהצטיינות מהטכניון.